फलन f(x)=-x का प्रांत क्या है?

सभी वास्तविक संख्याएँ

निम्नलिखित में से कौन-सा कथन f(x)=1x-5 के बारे में सही है?

यह सभी वास्तविक मानों के लिए सतत है, सिवाय x=5 के।

Define a one-to-one (ekaiky) function.

A function $f: A \to B$ is one-to-one if for every $x_1, x_2 \in A$, the condition $f(x_1) = f(x_2)$ implies that $x_1 = x_2$. In other words, distinct elements in the domain map to distinct elements in the codomain.

How are critical points used to find intervals where a function $f(x)$ is increasing or decreasing?

Critical points are found by setting the first derivative $f'(x)$ to zero or finding where it is undefined. These points divide the number line into intervals. By testing the sign of $f'(x)$ in each interval, we determine if $f(x)$ is increasing ($f'(x) > 0$) or decreasing ($f'(x) < 0$). For example, if $f'(x) = 12(x-3)(x+2)$, critical points are $x=3$ and $x=-2$.

Maths Most Important Questions Book 1

Notes

Video Summary

कक्षा 12 गणित: बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न और सूत्र

गणित की बोर्ड परीक्षा में सफलता के लिए उन प्रश्नों और अवधारणाओं पर विशेष ध्यान देना आवश्यक है, जो बार-बार पूछे जाते हैं। यहां प्रमुख अध्यायों के चयनित प्रश्न, विधियाँ, सूत्र और परीक्षा में पूछे जाने वाले संभावित टॉपिक्स का संक्षिप्त, बिंदुवार और परीक्षा-केंद्रित संकलन प्रस्तुत है।

संबंध एवं फलन: परिभाषाएँ, प्रकार और विश्लेषण

संबंध और फलन के प्रश्नों में स्वतुल्यता, सममितता, संक्रमकता, एकैकिता, आच्छादकता आदि की जांच की जाती है। परीक्षा में अक्सर संबंध की प्रकृति (स्वतुल्य, सममित, संक्रमक) और फलन के प्रकार (एकैकी, आच्छादक, बहु-एकैकी,…

कक्षा 12 गणित: बोर्ड परीक्षा के लिए महत्वपूर्ण प्रश्न और सूत्र

गणित की बोर्ड परीक्षा में सफलता के लिए उन प्रश्नों और अवधारणाओं पर विशेष ध्यान देना आवश्यक है, जो बार-बार पूछे जाते हैं। यहां प्रमुख अध्यायों के चयनित प्रश्न, विधियाँ, सूत्र और परीक्षा में पूछे जाने वाले संभावित टॉपिक्स का संक्षिप्त, बिंदुवार और परीक्षा-केंद्रित संकलन प्रस्तुत है।

संबंध एवं फलन: परिभाषाएँ, प्रकार और विश्लेषण

संबंध और फलन के प्रश्नों में स्वतुल्यता, सममितता, संक्रमकता, एकैकिता, आच्छादकता आदि की जांच की जाती है। परीक्षा में अक्सर संबंध की प्रकृति (स्वतुल्य, सममित, संक्रमक) और फलन के प्रकार (एकैकी, आच्छादक, बहु-एकैकी, अंतक्षेपी) पर आधारित प्रश्न आते हैं।

संबंध की जांच:
- स्वतुल्य: $aRa$ सभी $a$ के लिए सत्य हो
- सममित: $aRb \implies bRa$
- संक्रमक: $aRb$ और $bRc \implies aRc$
फलन की जांच:
- एकैकी (Injective): $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$
- आच्छादक (Surjective): प्रत्येक सह प्रांत के अवयव के लिए पूर्व प्रतिबिंब हो
- बहु-एकैकी: एक से अधिक $x$ के लिए $f(x_1) = f(x_2)$
- अंतक्षेपी: परिसर, सह प्रांत का उपसमुच्चय हो
शॉर्ट ट्रिक:
- $f(x) = x^n$ में $n$ विषम हो तो एकैकी व आच्छादक, $n$ सम हो तो न एकैकी, न आच्छादक

अवकलज के अनुप्रयोग: वर्धमान, ह्रासमान, अधिकतम-न्यूनतम

अवकलज के अनुप्रयोग में वर्धमान/ह्रासमान अंतराल, अधिकतम-न्यूनतम मान, क्रांतिक बिंदु, द्वितीय अवकलज परीक्षण आदि पूछे जाते हैं।

वर्धमान/ह्रासमान:
- $f'(x) > 0$ ⇒ वर्धमान
- $f'(x) < 0$ ⇒ ह्रासमान
क्रांतिक बिंदु:
- $f'(x) = 0$ या $f'(x)$ अपरिभाषित
द्वितीय अवकलज परीक्षण:
- $f''(x) > 0$ ⇒ न्यूनतम
- $f''(x) < 0$ ⇒ अधिकतम
प्रक्रिया:
1. $f(x)$ का अवकलन निकालें
2. $f'(x) = 0$ से बिंदु ज्ञात करें
3. संख्या रेखा पर चिह्न परीक्षण करें
4. द्वितीय अवकलज से चरम मान की प्रकृति जांचें

चर घातांकी फलन, लॉगरिदमिक अवकलन एवं संयुक्त फलन

जब फलन की घात में भी चर हो, तो दोनों पक्षों में लॉग लेकर अवकलन किया जाता है। संयुक्त फलन के अवकलन में श्रंखला नियम (Chain Rule) का प्रयोग होता है।

चर घातांकी फलन:
- $y = x^x$ $y = x^{x}$
  - $\log y = x \log x$
  - $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \log x + 1$
  - $\frac{dy}{dx} = x^x (\log x + 1)$
संयुक्त फलन:
- $y = \sin(x^2 + 5)$ $y = sin (x^{2} + 5)$
  - $\frac{dy}{dx} = \cos(x^2 + 5) \cdot 2x$
लॉगरिदमिक अवकलन:
- $y = x^{\sin x}$ $y = x^{s i n x}$
  - $\log y = \sin x \log x$
  - $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \cos x \log x + \frac{\sin x}{x}$

आव्यूह (Matrix): हल, व्युत्क्रम, एड्जॉइंट, गुणधर्म

आव्यूह के प्रश्नों में समीकरण हल करना, व्युत्क्रम निकालना, एड्जॉइंट, सममित/विषम सममित रूप, गुणा, सारणिक आदि पूछे जाते हैं।

आव्यूह समीकरण हल करना:
- $AX = B \implies X = A^{-1}B$
- $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$
एड्जॉइंट के सारणिक का मान:
- $|\text{adj}A| = |A|^{n-1}$ , $n$ = कोटि
सममित/विषम सममित रूप:
- $A = P + Q$ $A = P + Q$
  - $P = \frac{1}{2}(A + A')$ (सममित)
  - $Q = \frac{1}{2}(A - A')$ (विषम सममित)
गुणा:
- $AB$ संभव तभी जब $A$ के स्तंभ = $B$ की पंक्ति
गुणधर्म:
- $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
- $A \cdot \text{adj}A = |A|I$
- $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}A$

त्रिकोणमितीय फलन एवं इनवर्स ट्रिग्नोमेट्रिक

इनवर्स ट्रिग्नोमेट्रिक फलनों के सूत्र, मान निकालना, प्रमेय, संयोजन, विशेष मान, परिवर्तन आदि पर प्रश्न आते हैं।

सूत्र:
- $\sin^{-1}x + \sin^{-1}y = \sin^{-1}\left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right)$
- $\sin^{-1}(\sin\theta) = \theta$ यदि $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
- $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$
- $\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}x$
विशेष मान:
- $\sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1}x$
- $\cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1}x$
- $\cot^{-1}(-x) = \pi - \cot^{-1}x$
परिवर्तन:
- $\cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$

सारणिक (Determinant) एवं क्षेत्रफल

सारणिक के मान, विस्तार, क्षेत्रफल, गुणधर्म, अधिक शून्य वाले स्तंभ/पंक्ति से विस्तार, त्रिभुज का क्षेत्रफल आदि पर प्रश्न आते हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल: $\Delta = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}$
सारणिक का विस्तार:
- अधिक शून्य वाली पंक्ति/स्तंभ से विस्तार करें
गुणधर्म:
- $|A| = 0$ ⇒ आव्यूह अव्युत्क्रमणीय
- $|A| \neq 0$ ⇒ व्युत्क्रमणीय

संततता, अवकलनीयता एवं असंतत बिंदु

संततता एवं अवकलनीयता की जांच में बाएं, दाएं सीमा, फलन का मान, असंतत बिंदु, अपरिभाषित बिंदु आदि देखे जाते हैं।

संततता की जांच:
- $x = a$ $x = a$ पर
  - बाएं सीमा = दाएं सीमा = फलन का मान
  - यदि कोई असमानता हो तो असंतत
असंतत बिंदु:
- हर (denominator) को शून्य करने वाले बिंदु
अवकलनीयता:
- संततता आवश्यक
- बाएं व दाएं अवकलज समान हों

प्राचलिक फलन (Parametric Functions) का अवकलन

प्राचलिक फलनों में $x$ व $y$ को $t$ के सापेक्ष दिया जाता है।

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$
उदाहरण:
- $x = 4t, y = 4/t$ $x = 4 t, y = 4/ t$
  - $\frac{dx}{dt} = 4$
  - $\frac{dy}{dt} = -4/t^2$
  - $\frac{dy}{dx} = -1/t^2$

संबंधों की कुल संख्या, फलनों की कुल संख्या

कुल संबंध:
- $A$ में $m$ अवयव, $B$ में $n$ अवयव
- कुल संबंध = $2^{mn}$
कुल फलन:
- $X$ में $m$ अवयव, $Y$ में $n$ अवयव
- कुल फलन = $n^m$

विशेष प्रश्न: शंकु के अंतर्गत बेलन, अनंत श्रंखला, महत्तम पूर्णांक, चिन्ह फलन

शंकु के अंतर्गत महत्तम वक्र पृष्ठ वाले बेलन की त्रिज्या:
- बेलन की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या का आधा
अनंत श्रंखला:
- $y = \sin x + \sin x + \sin x + \ldots$ $y = sin x + sin x + sin x + \dots$
  - $y = \sin(x + y)$
  - $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{2y - 1}$
महत्तम पूर्णांक फलन:
- $[x]$
चिन्ह फलन:
- $\text{sgn}(x) = \begin{cases} 1, & x > 0 \\ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$

परीक्षा में पूछे जाने वाले अन्य संभावित प्रश्न

सममित/विषम सममित आव्यूह के गुणधर्म
तुल्यता संबंध की प्रमेय
इनवर्स ट्रिग्नोमेट्रिक फलनों के संयोजन
समीकरणों को आव्यूह विधि से हल करना
संततता/अवकलनीयता की जांच
अवकलज के अनुप्रयोग: क्षेत्रफल, घन का आयतन, पृष्ठीय क्षेत्रफल की दर
सारणिक के विस्तार में अधिक शून्य वाली पंक्ति/स्तंभ का चयन
प्राचलिक फलनों का अवकलन
कुल संबंध/फलनों की संख्या
विशेष फलन: महत्तम पूर्णांक, चिन्ह, मापांक फलन की प्रकृति
शॉर्ट ट्रिक: $f(x) = x^n$ में $n$ सम/विषम होने पर फलन की प्रकृति
इनवर्स ट्रिग्नोमेट्रिक के विशेष मान व परिवर्तन
त्रिकोणमितीय फलनों के संयोजन व सूत्र
संततता/अवकलनीयता के लिए बाएं, दाएं सीमा व फलन का मान
आव्यूह के गुणधर्म व प्रमेय
समीकरणों को आव्यूह विधि द्वारा हल करने की प्रक्रिया

Quiz

30 Questions

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Question 1 of 30

फलन $f (x) = 4 - 3 x + 3 x^{2} - x^{3}$ है:

Flashcards

16 Cards

Question01 / 16

What is a reflexive relation?

Click to reveal answerTap the card to see answer

Answer01 / 16

A relation

R

on a set

A

is reflexive if

(a, a) \in R

for every element

a \in A

. This means every element is related to itself.