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कक्षा 11 भौतिकी: संपूर्ण सूत्र और अवधारणाएँ

ग्राफ और उनका ढाल

ग्राफों का विश्लेषण भौतिकी में अत्यंत महत्वपूर्ण है। सीधी रेखा के ग्राफ का समीकरण $y = mx + c$ होता है, जिसमें $m$ ढाल है। ग्राफ का ढाल $m = \tan \theta = \frac{dy}{dx}$ होता है। $\theta < 90^\circ$ होने पर ढाल धनात्मक, $\theta > 90^\circ$ होने पर ऋणात्मक होता है।

• स्ट्रेट लाइन ग्राफ: $y = mx + c$, $y = mx$, $y = mx - c$ (ढाल धनात्मक)
• ऋणात्मक ढाल: $y = -mx + c$, $y = -mx$, $y = -mx - c$ -…

कक्षा 11 भौतिकी: संपूर्ण सूत्र और अवधारणाएँ

ग्राफ और उनका ढाल

ग्राफों का विश्लेषण भौतिकी में अत्यंत महत्वपूर्ण है। सीधी रेखा के ग्राफ का समीकरण $y = mx + c$ होता है, जिसमें $m$ ढाल है। ग्राफ का ढाल $m = \tan \theta = \frac{dy}{dx}$ होता है। $\theta < 90^\circ$ होने पर ढाल धनात्मक, $\theta > 90^\circ$ होने पर ऋणात्मक होता है।

• स्ट्रेट लाइन ग्राफ: $y = mx + c$, $y = mx$, $y = mx - c$ (ढाल धनात्मक)
• ऋणात्मक ढाल: $y = -mx + c$, $y = -mx$, $y = -mx - c$
• परवलय: $y = x^2$ या $x = y^2$ (कटोरे जैसा ग्राफ)
• अति परवलय: $y = \frac{1}{x}$, $x = \frac{1}{y}$ (चाँद जैसा ग्राफ)
• वृत्त: $x^2/r^2 + y^2/r^2 = 1$
• दीर्घवृत्त: $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$
• साइन/कोसाइन ग्राफ: $sin\theta$ का मान $0, \pi, 2\pi, ...$ पर शून्य; $cos\theta$ का मान $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, ...$ पर शून्य

बेसिक गणितीय सूत्र

भौतिकी में गणितीय सूत्रों का प्रयोग बार-बार होता है। दूरी का सूत्र, कोण, त्रिगणितीय फलन, लॉग, और डेसिबल जैसे फार्मूले परीक्षा में पूछे जाते हैं।

• दूरी का सूत्र: $AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$
• कोण: $\theta = \frac{\text{चाप}}{\text{त्रिज्या}}$ (मात्रक: रेडियन)
• त्रिगणितीय फलन:
  • $sin(a+b) = sin a \cos b + \cos a \sin b$
  • $cos(a+b) = cos a \cos b - sin a \sin b$
  • $a sin\theta + b cos\theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$
• डिग्री-रेडियन परिवर्तन: $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ रेडियन; $1$ रेडियन $= \frac{180}{\pi}$ डिग्री
• लॉग:
  • $log_a b = x \implies a^x = b$
  • $log m n = log m + log n$
  • $log m / n = log m - log n$
• ध्वनि की तीव्रता (डेसीबल): $\beta = 10 \log_{10} \frac{I}{I_0}$

अवकलन और समाकलन

अवकलन और समाकलन के फार्मूले भौतिकी के कई अध्यायों में उपयोगी हैं। चैन रूल, गुणनफल नियम, और मुख्य फलनों के अवकलन/समाकलन परीक्षा में बार-बार पूछे जाते हैं।

• $d/dx(sin x) = cos x$
• $d/dx(cos x) = -sin x$
• $d/dx(e^x) = e^x$
• $d/dx(e^{-x}) = -e^{-x}$
• $d/dx(log x) = 1/x$
• $d/dx(tan x) = sec^2 x$
• $d/dx(x^n) = n x^{n-1}$
• समाकलन:
  • $\int cos x dx = sin x$
  • $\int sin x dx = -cos x$
  • $\int e^x dx = e^x$
  • $\int 1/x dx = log x$
  • $\int sec^2 x dx = tan x$
• चैन रूल: $d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
• गुणनफल नियम: $d/dx(u v) = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$

वेक्टर और सदिश योग

सदिशों की गणना, योग, घटाना, और गुणनफल भौतिकी में अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। त्रिभुज और समांतर चतुर्भुज नियम, प्रक्षेप, डॉट/क्रॉस प्रोडक्ट, और दिकोज्या के फार्मूले परीक्षा में पूछे जाते हैं।

• सदिश योग (त्रिभुज नियम): $r = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos\theta}$
• दिशा: $\tan \alpha = \frac{b \sin\theta}{a + b \cos\theta}$
• विशेष केस:
  • $\theta = 0$: $r = a + b$
  • $\theta = 90$: $r = \sqrt{a^2 + b^2}$
  • $\theta = 180$: $r = |a - b|$
• सदिश घटाना: $r = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos\theta}$
• प्रक्षेप: $B$ का $A$ पर प्रक्षेप $B \cos\theta$
• डॉट प्रोडक्ट: $A \cdot B = AB \cos\theta$
  • $i \cdot i = 1$, $i \cdot j = 0$
• क्रॉस प्रोडक्ट: $A \times B = AB \sin\theta$ (दिशा: दोनों के लंबवत)
• दिकोज्या: $cos^2 \alpha + cos^2 \beta + cos^2 \gamma = 1$

यूनिट, विमा, त्रुटि, सार्थक अंक

मात्रक, विमा, त्रुटि, और सार्थक अंक की गणना परीक्षा में बार-बार पूछी जाती है। राउंडिंग ऑफ, गुणनफल/भागफल में न्यूनतम सार्थक अंक, त्रुटि जोड़ना/घटाना, और प्रतिशत त्रुटि के फार्मूले महत्वपूर्ण हैं।

• सार्थक अंक: अशून्य अंकों के बीच के शून्य सार्थक; दशमलव के बाद राइट से तीर नहीं चलेगा, लेफ्ट से चलेगा।
• राउंडिंग ऑफ: $5$ से बड़ी संख्या हटाने पर आगे वाले अंक में $+1$; $5$ से छोटी पर कोई परिवर्तन नहीं।
• गुणनफल/भागफल: उत्तर में न्यूनतम सार्थक अंक
• जोड़ना/घटाना: उत्तर में न्यूनतम दशमलव अंक
• त्रुटि: $मापित मान = वास्तविक मान \pm त्रुटि$
• माध्य त्रुटि: $\frac{\sum \text{त्रुटि}}{n}$
• सापेक्षिक त्रुटि: $\frac{\text{माध्य त्रुटि}}{\text{माध्य मान}}$
• गुणनफल/भागफल में त्रुटि: $\frac{\Delta r}{r} = \frac{\Delta x}{x} + \frac{\Delta y}{y}$
• पावर के साथ: पावर आगे लाओ, $\frac{\Delta r}{r} = n \frac{\Delta a}{a}$

गति, चाल, त्वरण, ग्राफ

गति, चाल, त्वरण, और ग्राफ का विश्लेषण परीक्षा में बार-बार पूछा जाता है। दूरी, विस्थापन, चाल, वेग, त्वरण, और ग्राफ के ढाल/क्षेत्रफल के फार्मूले महत्वपूर्ण हैं।

• दूरी: अदिश, विस्थापन: सदिश
• चाल: दूरी/समय; वेग: विस्थापन/समय
• त्वरण: $a = \frac{dv}{dt}$; औसत त्वरण: $\frac{\Delta V}{\Delta t}$
• त्वरण के फार्मूले: $a = v \frac{dv}{dx}$
• गति समीकरण (नियत त्वरण):
  • $v = u + at$
  • $s = ut + \frac{1}{2} a t^2$
  • $v^2 = u^2 + 2as$
• गति के ग्राफ:
  • $xt$ ग्राफ का ढाल: वेग
  • $vt$ ग्राफ का ढाल: त्वरण
  • $at$ ग्राफ का क्षेत्रफल: वेग

प्रक्षेप गति, गुरुत्व के अधीन गति

प्रक्षेप गति और गुरुत्व के अधीन गति के फार्मूले परीक्षा में बार-बार पूछे जाते हैं। अधिकतम ऊंचाई, टाइम ऑफ फ्लाइट, परास, पूरक कोण, क्षैतिज प्रक्षेप, और सापेक्षिक गति के फार्मूले महत्वपूर्ण हैं।

• प्रक्षेप गति:
  • $y = x \tan\theta - \frac{1}{2} \frac{g x^2}{u^2 \cos^2\theta}$
  • $H_{max} = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$
  • $T = \frac{2u \sin\theta}{g}$
  • $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$
• पूरक कोण: $R_1 = R_2$; $R = 4 \sqrt{H_1 H_2}$
• क्षैतिज प्रक्षेप: $x = u \sqrt{2h/g}$
• सापेक्षिक गति: $V_{AB} = V_A - V_B$

न्यूटन के गति के नियम, बल, संवेग, आवेग

न्यूटन के गति के नियम, बल, संवेग, आवेग, प्रतिक्रिया बल, तनाव बल, स्प्रिंग बल, और घर्षण के फार्मूले परीक्षा में पूछे जाते हैं।

• न्यूटन का दूसरा नियम: $F = ma = \frac{dp}{dt}$
• संवेग: $p = mv$
• आवेग: $F \cdot t = \Delta p$
• पानी की धार का बल: $\rho A v^2$ (आयतन घनत्व), $\lambda v^2$ (रेखीय घनत्व)
• स्प्रिंग बल: $F = -kx$
• स्प्रिंग काटने पर: $K_{टुकड़ा} = K \frac{l}{l_{टुकड़ा}}$
• घर्षण:
  • स्थैतिक: स्वतः समायोजी, अधिकतम $F_s = \mu_s N$
  • गतिक: $F_k = \mu_k N$
  • सीमांत घर्षण: चलाने के लिए न्यूनतम बल
  • न्यूनतम बल: $\frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}}$

कार्य, ऊर्जा, शक्ति

कार्य, ऊर्जा, शक्ति, संरक्षी/असरक्षी बल, कार्य-ऊर्जा प्रमेय, ऊर्जा संरक्षण, और शक्ति के फार्मूले परीक्षा में पूछे जाते हैं।

• कार्य: $W = Fd \cos\theta$ (नियत बल), $W = \int F dr$ (परिवर्त बल)
• संरक्षी बल: पथ पर निर्भर नहीं; असरक्षी बल: पथ पर निर्भर
• गतिज ऊर्जा: $\frac{1}{2} mv^2$
• स्थितिज ऊर्जा: $mgh$ (ऊपर), $-mg$ (नीचे)
• स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा: $\frac{1}{2} kx^2$
• कार्य-ऊर्जा प्रमेय: $W_{total} = K_{final} - K_{initial}$
• ऊर्जा संरक्षण: केवल संरक्षी बल के लिए $PE_{initial} + KE_{initial} = PE_{final} + KE_{final}$
• शक्ति: $P = \frac{W}{t} = F \cdot v$
• पावर के अन्य फार्मूले: $P = m v \frac{dv}{dt}$, $P = m v^2 \frac{dv}{dx}$

द्रव्यमान केंद्र, टक्कर, रोटेशन

द्रव्यमान केंद्र, टक्कर, जड़त्व आघूर्ण, बल आघूर्ण, कोणीय संवेग, और संरक्षण के फार्मूले परीक्षा में पूछे जाते हैं।

• द्रव्यमान केंद्र: $x_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$
• टक्कर:
  • प्रत्यास्था गुणांक: $e = \frac{v_2 - v_1}{u_1 - u_2}$
  • संवेग संरक्षण: $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$
• जड़त्व आघूर्ण:
  • वलय: $mr^2$
  • चकती: $mr^2/2$
  • खोखला गोला: $2/3 mr^2$
  • सॉलिड गोला: $2/5 mr^2$
  • छड़ (सिरे से): $ml^2/3$
  • छड़ (बीच से): $ml^2/12$
• बल आघूर्ण: $\tau = r \times F = r F \sin\theta$
• कोणीय संवेग: $L = mvr \sin\theta = I \omega$
• संरक्षण: $T_{initial} = T_{final}$ (कुल बल आघूर्ण शून्य)

गुरुत्वाकर्षण, फ्लूइड, थर्मल, एसएचएम, वेव

गुरुत्वाकर्षण, फ्लूइड, थर्मल, एसएचएम, और वेव के फार्मूले परीक्षा में बार-बार पूछे जाते हैं।

• गुरुत्वाकर्षण बल: $F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$
• गुरुत्वीय त्वरण: $g = G \frac{M}{r^2}$
• ऊंचाई/गहराई पर $g$: $g_{h} = g \left(1 - \frac{2h}{r}\right)$; $g_{d} = g \left(1 - \frac{d}{r}\right)$
• पलायन वेग: $v_{esc} = \sqrt{2gr}$
• फ्लूइड दाब: $P = \rho gh$
• उत्प्लावन बल: $F_B = \rho V g$
• सांतत्य समीकरण: $A_1 v_1 = A_2 v_2$
• बर्नोली समीकरण: $P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{नियत}$
• स्टॉक का नियम: $F = 6\pi \eta r v$
• सीमांत वेग: $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\sigma - \rho)}{\eta}$
• पृष्ठ तनाव: $T = \frac{F}{l}$
• थर्मल:
  • $Q = ms \Delta t$
  • $Q = ml$ (गुप्त ऊष्मा)
  • मिश्रण का नियम: $Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0$
  • ऊष्मीय चालकता: $Q = \frac{K A \Delta t}{l}$
  • स्टीफन का नियम: $Q = \sigma e A T^4$
• एसएचएम:
  • $a = -\omega^2 x$
  • $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
  • $T_{लोलक} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
• वेव:
  • $y = a \sin(\omega t \pm kx)$
  • $v = \omega / k$
  • रस्सी में वेग: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$
  • अप्रगामी तरंग: $y = 2a \sin kx \cos \omega t$
  • नोड के बीच दूरी: $\lambda/2$
  • खुला ऑर्गन पाइप: $f_1 = v/2l$
  • बंद ऑर्गन पाइप: $f_1 = v/4l$

सभी फार्मूले और अवधारणाएँ परीक्षा में बार-बार पूछी जाती हैं; इनका अभ्यास और रिवीजन आवश्यक है।